Нет, не может.

Директор является наемным работником, и на него распространяются все гарантии, предусмотренные ТК РФ. Время отпуска и пребывания на больничном листке не является рабочим временем сотрудника, он не исполняет свои должностные обязанности, за это время он получает не зарплату, а отпускные или больничное пособие.

Таким образом, во время отпуска или болезни директор не исполняет обязанности руководителя организации и не может подписывать приказы и иные документы организации. В таких случаях директору нужно поручить исполнение обязанностей по руководству организацией своему заместителю или иному работнику.